初中数学教学与研究

两类闭折线的构图方法

       梁卷明  广西柳城县实验中学   邮编：545200 

  内容摘要:本文给出了构造自交数为k的平面闭折线Z_n的两种简洁的变换法,从而彻底解决了如何构造自交数为k的平面闭折线Z_n的问题^[2].  

  关键词: 平面闭折线,自交数,构图法.

  杨之先生曾提出问题^[2]:是否对任何的k:0＜k＜θ₀ (n),都存在自交数为k的n边闭折线Z_n ?

   姚勇^[4]证明了：若n≥5且为奇数,则必不存在自交数为θ₀(n)-1的n边闭折线Z_n, 之后梁卷明^[6]

先生又给出了这个命题的简洁证明.2003年6月，梁卷明^[7]又证明了: 若n≥5且为奇数时,必存在自交数为k∈（0，θ₀ (n)-1）的Z_n；若n≥4且为偶数,则必存在自交数为k∈(0, θ₀ (n))的Z_n.

      本文给出构造自交数为k [0＜k＜θ₀ (n)]的平面闭折线Zn的两种简洁的变换法如下.

    一.奇边闭折线的构图法

由文[7]知可先令θ₀ (m-2)-1≤k≤θ₀ (m)-2 ① 并求出奇数m的值：解不等式①即知奇数m（显然5≤m≤n）为区间中的唯一确定的奇数，又由①知可把k的值写成k=θ₀ (m)-4i-j②的形式（j=0,1,2,3）,且当j=0,1时：1≤i≤(m-3)/2, 当j=2时：0≤i≤(m-3)/2, 当j=3时：0≤i≤(m-5)/2, 又由②可得求i,j的公式：i=Int[(θ₀ (m)-k)/4],j=θ₀ (m)-k-4i, 再画一个圆并将之n等分,然后从某一个等分点起，顺次将各点分别记为点A₁,A₃,A₅,…,A_m-2;A_n,A_n-1,…,A_m+1,A_m;A₂,A₄,A₆,…,A_m-1.又顺次连接点A₁,A₂,A₃,…,A_m,A_m+1, …，A_n-1, A_n, A₁, 即可得自交数为θ₀ (m)的Z_n=A₁A₂…A_n.的构图(如图1)（若m=n,则将图中下标大于n的点去掉即可.），最后再按如下方法对图1作变换即可得自交数为k的Z_n=A₁A₂…A_n.

    1.当j=0时，k=θ₀ (m)-4i =θ₀ (m)-3-4(i-1)-1 [1≤i≤(m-3)/2]可作变换：A₂ →弧A_2i+2A2i+4上（点A₂越过i个顶点，点A₂越过第1个顶点时k的值少3，以后每越过1个点（还有i-1个点）k的值依次减少4），A₁与A₃对换（使k的值再减少1）.[注：当i＝(m-3)/2时：k=θ₀ (m-2)＋1]

    2.当j=1时：

    （1）当i=1时：k=θ₀ (m)-5, 可作变换：A₂ →∠A₆内.(注：若n＞m可作：A₁与A₃对换，A₄与A₆对换，A_m与A_m+1对换.)                                               

    （2）当2≤i≤(m-5)/2时：k=θ₀ (m)-4i-1=θ₀(m)-3-4(i-2)-6, 可作变换：A₆→弧A_2i+4A2i+6上（点A₆越过(i-1)个顶点，点A₆越过第1个顶点时k的值少3，以后每越过1个点（还有（i-2）个点）k的值依次减少4），A₂与A₄对换且A₁→A₅ →A₃ →A₁（使k的值再减少6）.

    （3）当i=(m-3)/2时：k=θ₀ (m)-4(m-3)/2-1=θ₀ (m-2),可作变换：把点A_m-1，A_m-2依次移到弧A_mA₂上.[ 即先构造自交数达最大值θ₀(m-2)的Z_m-2，再在弧A_m-2A_m-4上顺次插入点A_m-1 ，A_m，A_m+1,…,A_n]

    3.当j=2时：（1）当i=0时：k=θ₀ (m)-2, 可作变换：A₂ →∠A₄内.(注：若n＞m可作：A₂与A₄对换，A_m与A_m+1对换.)；（2）当1≤i≤(m-3)/2时：k=θ₀ (m)-4i-2=θ₀(m)-3-4(i-1)-3, 可作变换：A₁→弧A_2i+1A2i+3上（点A₁越过i个顶点，点A₁越过第1个顶点时k的值少3，以后每越过1个点（还有（i-1）个点）k的值依次减少4），A₄与A₆对换（使k的值再减少3）. [i=(m-3)/2时：k=θ₀ (m-2)-1]

   4.当j=3时：k=θ₀ (m)-4i-3, 0≤i≤(m-5)/2可作变换：A₂ →弧A_2i+4A2i+6上（点A₂越过（i+1）个顶点，点A₂越过第1个顶点时k的值少3，以后每越过1个点（还有i个点）k的值依次减少4）. [i=(m-5)/2时：k=θ₀ (m-2)+2]   

二.偶边闭折线的构图法

   类似奇边闭折线的构图,我们可将文[7]的构图法作如下的改进：由文[7]知可先令θ₀ (m-2)+1≤k≤θ₀ (m) ① 并求出偶数m的值：解不等式①即知偶数m（显然4≤m≤n）为区间中的唯一确定的偶数，又由①知可把k的值写成k=θ₀(m)-4i-j②的形式（j=0,1,2,3）,且当j=0,1时：0≤i≤(m-4)/2, 当j=2，3时：0≤i≤(m-6)/2,又由②可得求i,j的公式：i=Int[(θ₀ (m)-k)/4],j=θ₀ (m)-k-4i, 再画一个圆并将之n等分,然后从某一个等分点起，顺次将各点分别记为点A₁,A₂,A₃,…,A_m/2; A_m,A_m+1,A_m+2,…,A_n;A_m-1,A_m-2,…,A_m/2+2,A_m/2+1.又将点A_i与点A_m-i+1(i≤m/2且为偶数)对换位置，又顺次连接点A₁,A₂,A₃,…,A_m,A_m+1, …，A_n-1, A_n, A₁,即可构造自交数达最大值的Z_m(如图2,3)（若m=n,则将图中下标大于n的点去掉即可.），最后再按如下讨论对图2或3作变换即可得自交数为k的Z_n=A₁A₂…A_n.

    1.当k=4(m=6)时，可作变换：A₁ →∠A₄内，A₃与A₅对换.(注：若n＞m可作：A₁与A₄对换，A₆与A₇对换.)

    2. 当k=5(m=6) 时，可作变换：A₁与A₂对换.

    3. 当k=10(m=8) 时，可作变换：A₁与A₂对换，A₄与A₆对换. 

    4. 当k=14(m=8) 时，可作变换：A₁与A₂对换，A₃与A₅对换.

    5. 当k≠4,5,10,14时：

    （1）当j=0时[k=θ₀ (m)-4i，0≤i≤(m-4)/2]，可作变换：

  ①当(m/2+i)为奇数时：A₁ →弧A_{m/2-i+1A m/2+i+1}上（点A₁越过i个顶点，每越过1个点k的值依次减少4）;

  ②当(m/2+i)为偶数时：A₁ →弧A _m/2+iA_m/2-i上（点A₁越过i个顶点，每越过1个点k的值依次减少4）. (注:当i=0时点A₁不变！).[注：当i＝(m-6)/2时：k=θ₀ (m-2)＋6，当i＝(m-4)/2时：k=θ₀ (m-2)＋2]

    （2）当j=1时[k=θ₀ (m)-4i-1，0≤i≤(m-4)/2]，可作变换：A_m/2与A _m/2+2对换（使k的值减少1）,且作j=0 的变换. [注：当i＝(m-6)/2时：k=θ₀ (m-2)＋5，当i＝(m-4)/2时：k=θ₀ (m-2)＋1] 

    （3）当j=2时[k=θ₀ (m)-4i-2，0≤i≤(m-6)/2]，可作变换：A₃与A _m－1对换（使k的值减少2）,且作j=0的变换. [注：当i＝(m-6)/2时：k=θ₀ (m-2)＋4.] 

    （4）当j=3时[k=θ₀ (m)-4i-3，0≤i≤(m-6)/2]，可作变换：A_m/2与A _m/2+2对换（使k的值减少1）, A₃与A _m－1对换（使k的值又减少2）,且作j=0的变换. [注：当i＝(m-6)/2时：k=θ₀ (m-2)＋3.]  

参考文献:

 1.杨之,初等数学研究的问题与课题.湖南教育出版社,1993年5月第1版,p70-83.

 2. 杨之,双折数、自交数与环数.中学数学,1999,8.p42-44.

 3. 王方汉,两类星形及其自交数.初等数学前沿,江苏教育出版社,1995,3.p149-158.

 4. 姚勇,关于闭折线自交数一个猜想的证明，中学数学教学参考,2000,12.p55-56.

 5. 梁卷明,n边闭折线最大自交数公式简证,中学数学教学参考,2002,6.p53.

 6. 梁卷明,杨世明猜想的简证,中学数学,2003,4.p25.

 7. 梁卷明，平面n边闭折线自交数问题新探,载《中国初等数学研究文集(二) 》(孙弘安 主编),中国科学文化出版社出版,2003年6月第一版p14-16.

                                             2009年11月8日

  邮编：545200  广西柳城县实验中学  梁卷明  电子邮箱：gxlcljm@163.com

作者简介：梁卷明，男，1963年3月生，2000年12月获中学高级教师，广西师大数学系本科毕业，全国初等数学研究会理事，中国折线研究小组成员，柳州市数学学会理事，广西网络教研数学学科中心组成员，2009年度广西网络教研先进个人，曾被评为中国教育学会数学教育研究发展中心优秀会员，长期致力于用数学方法论指导数学教学的研究及初等数学研究，在《中学数学(湖北)》、《中学数学教学参考（陕西师大）》、《柳州师专学报》等刊公开发表论文四十余篇，有多篇教学论文先后在第七、八、十、十一、十二届全国初中数学教研会【中国教育学会数学教育研究发展中心主办】交流或获奖，初等数学研究成果《Morley魔方的美妙性质》于2000年8月在第四届全国初等数学研究学术交流会上交流【北京首都师大会议】，初等数学研究成果《平面n边闭折线自交数问题新探》于2003年8月在第五届全国初等数学研究学术交流会上被中国初等数学研究工作协调组授予首届“青年初等数学研究奖”【江西赣南师大会议】，并公开发表于《中国初等数学研究文集（二）》中，2005年获广西“数学竞赛优秀辅导员”，近年从事“课改”实验教学与研究工作. 初等数学研究成果《两类闭折线的奇妙构图》荣获全国第七届初等数学研究学术交流会【2009.8深圳会议】优秀论文二等奖，《一道IMO备选题的推广》荣获全国第七届初等数学研究学术交流会【2009.8深圳会议】优秀论文三等奖。

主要科研方向:初中数学教育研究，中考研究，竞赛数学研究，初等数学研究。

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